ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

функция, к-рая может быть представлена обобщенным рядом Фурье. Существуют различные способы определения классов П. п. ф., основанные на понятиях замыкания, почти периода, сдвига. Каждый из классов П. п. ф. получается в результате замыкания в том или ином смысле одной и той же совокупности конечных тригонометрич. сумм.

Пусть D_G[f(x),j(x)] - расстояние между функциями f(х).и j(х).в метрич. пространстве G. Далее в качестве G рассматривается одно из пространств U,, W^p, В ^p, где U - совокупность непрерывных ограниченных на действительной оси функций с метрикой

, W^p, В ^р - совокупности функций, измеримых и суммируемых со степенью , в каждом конечном интервале действительной оси с метриками:

Пусть Т- множество тригонометрич. полиномов вида

где l_k - любые действительные числа, а _k - комплексные коэффициенты. Через Н _G (Т).обозначается замыкание в пространстве G множества Т. Классы Н _U (Т)= U- п . п., -п. п., H_wp(T)=W^p- п. , Н _B р=В ^р- п . п. наз. соответственно классами равномерных П. п. ф., или Бора почти периодических функций, Степанова почти периодических функций, Вейля почти, периодических функций, Безиковича почти периодических функций. Все определенные выше классы П.п. ф. инварианты относительно сложения. Вместе с f(x).в каждый класс входит и произведение , где l - действительное число. Расстояния при различных значениях l топологически эквивалентны, и потому можно считать l=1. Пусть -п. = S^p- п. S¹- п. .=S- п. В ¹- п. .=В- п.

U- п. S^p- п. W^p- п. B^p- п. .,;и, если ,

S ^р2 -п. S^p1 -п. W^p2 -п. W^p1 -п. B^p2- п. . B^p1 -п.

Для каждой -п. п. существует среднее значение

функция , где l - действительное число, может отличаться от нуля не более чем на счетном множестве значений l;в результате нумерации в произвольном порядке получается последовательность {l_k}, k=l, 2, ... , показателей Фурье функции f(x).

Числа наз. коэффициентами

Фурье функции f(x). П. п. ф. f(x) любого определенного выше класса соответствует ряд Фурье вида

Для -п. п. имеет место равенство Парсеваля

В классе В ^р- п . п. обобщается теорема Рисса - Фишера: пусть {l_k}, k=l, 2, ... ,- произвольные действительные числа, {A_k}, k=1, 2, ... ,- комплексные числа, для к-рых , тогда существует

-п. п., для к-рой тригонометрич. ряд является ее рядом Фурье.

Теорема единственности понимается в следующем смысле: если две функции и имеют один и тот же ряд Фурье, то выполняется равенство

В частности, для равномерных П. п. ф. теорема единственности означает, что f(x) = j(x) (для П. п. ф. Степанова - почти всюду). Теорема единственности, понимаемая в том же смысле, что и для рядов Фурье - Лебега 2p-периодических функций, но имеет места для П. п. ф. Вейля - Безиковича.

Классы равномерных П. п. ф. и П. п. ф. Степанова являются соответственно нетривиальными расширениями класса непрерывных на всей числовой оси и суммируемых на [0,2p] 2p-периодичсских функций. Для этих классов П. п. ф. сохраняется теорема единственности.

Другие, менее формальные определения П. п. ф. рассматриваемых классов опираются на понятие почти периода и на обобщения этого понятия.

Следствием определения классов П. п. ф. через понятие замыкания является теорема аппроксимации: для каждой П. п. ф. f(х).из U(или S^p, W^p).и каждого e>0 можно указать конечный тригонометрич. полином Р(х).из множества Т, удовлетворяющий неравенству

Теорема аппроксимации может служить отправным пунктом определения различных классов П. п. ф. При этом аппроксимирующие полиномы Р(х).могут содержать "посторонние", т. е; отличные от показателей Фурье функции f(x), показатели. Однако для нек-рых приложений теоремы аппроксимации важен тот факт, что можно совершенно избежать введения в Р(х).показателей, отличных от показателей Фурье функции f(x).

В связи с представимостью П. п. ф. обобщенными рядами Фурье возникает вопрос о признаках сходимости для этих рядов и приобретают значение разнообразные методы суммирования обобщенных рядов Фурье (метод Бохнера - Фейера и др.). Так, получены признак абсолютной сходимости обобщенных рядов Фурье с линейно независимыми показателями Фурье, признак равномерной сходимости рядов Фурье, когда при , и аналогичный признак в случае, когда при

Значение признаков равномерной сходимости в теории П. п. ф. подчеркивается следующей теоремой: если тригонометрич. ряд сходится равномерно на всей действительной оси, то он является рядом Фурье своей суммы -п. п. Следствие: существуют равномерные П. п. ф. с произвольным счетным множеством показателей Фурье. В частности, показатели Фурье равномерной П. п. ф. могут иметь предельные точки на конечном расстоянии или даже располагаться всюду плотно.

Кроме понятия замыкания или почти периода, для определения П. п. ф. можно использовать понятие сдвига. Так, функция f(х).будет равномерной П. п. ф. тогда и только тогда, когда из каждой бесконечной последовательности функций f(x+h₁), f(x+h₂), ... , где сдвиги h₁, h₂, ...- произвольные действительные числа, можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность. Это определение служит отправной точкой при рассмотрении П. п. ф. на группах.

Основные факты теории П. п. ф. остаются справедливыми и в том случае, если рассматривать понятие обобщенного сдвига. Возможны и полезны другие обобщения: П. п. ф. со значениями в евклидовом n-мерном пространстве, в банаховом или метрич. пространстве, аналитические и гармонические П. п. ф.

Лит.:[1] Бор Г., Почти периодические функции, пер. с нем., М.-Л., 1934; [2] Besicovitch A. S., Almost periodic functions, Camb., 1932; [3] Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М., 1953; [4] Купцов Н. П., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, в. 4, с. 117-78; [5] Rudin W., Fourier analysis on groups, N.Y.-L., 1962; [В] Левитан Б. М., Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения, М., 1962; [7] Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С., Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970. Е.

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ - аналитическая функция f(s), s=s+it, регулярная в полосе и разложимая в ряд вида

где a_n - комплексные, l _п - действительные числа. Действительное число t наз. e-почти периодом функции f(s), если во всех точках полосы (a, b) выполняется неравенство

П. п. ф. а.- аналитическая функция, регулярная в полосе (a, b) и обладающая для каждого e>0 относительно плотным множеством e-почти периодов. Аналогично определяется П. п. ф. а. в замкнутой цолосе . П. п. ф. а. в полосе [a, b] на каждой прямой полосы является равномерной почти периодич. функцией от действительного переменного t, она ограничена в [a, b], т. е. в любой внутренней полосе. Если функция f(s), регулярная в полосе (a, b), является равномерной почти периодич. функцией хотя бы на одной единственной прямой s=s₀ этой полосы, то ограниченность f(s) в [a, b] влечет за собой ее почти периодичность во всей полосе [а, р]. В результате теория П. п. ф. а. оказывается в основе своей аналогичной теории почти периодических функций от действительного переменного. Поэтому на П. п. ф. а. легко переносятся многие важные факты последней теории: теорема единственности, равенство Парсеваля, правила действий над рядами Дирихле, аппроксимационная теорема и ряд др. теорем.

Лит.:[1] Бор Г., Почти периодические функции, пер. с нем., М.- Л., 1934; [2] Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М., 1953. В. А. Бредихина.

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ НА ГРУППЕ - обобщение почти периодич. функций, заданных на R¹. Пусть G - (абстрактная) группа. Комплекснозначная функция , наз. правой почти периодической функцией (п. п. ф.), если семейство f(xа), где a пробегает всю группу С, компактно в смысле равномерной сходимости на G, т. е. из каждой последовательности f( ха ₁), f(xa₂), ... можно выделить равномерно на G сходящуюся подпоследовательность. Аналогично определяются левая почти периодическая функция на группе G. Оказывается, что всякая правая (левая) п. п. ф. является одновременно левой (правой) п. п. ф., и имеет место компактность семейства f(axb), где а, b независимо пробегают группу G. Последнее свойство часто принимается в качестве определения п. п. ф. на G. Совокупность всех п. п. ф. на Gесть банахово пространство с нормой

Теория п. п. ф. на группе существенно опирается на теорему о среднем значении (см. [5], [8]). Линейный функционал M_x{f(x)}, заданный на пространстве всех п. п. ф., наз. средним значением, если

1) для и M_x{f(x)}>0 для

2) M _х {f(xа) }= М _x {f(ax) }= М _x {f(x^-1)}.

Унитарная матрица , заданная на G, наз. унитарным представлением группы G, если g(e)=I_r( е - единица группы G, I_r - единичная матрица порядка r).и для любых элементов имеет место равенство g(xy)=g(x)g(y). Число rназ. размерностью представления g. Матричные элементы g_ij(x).суть п. п. ф. на G. В теории п. п. ф. на группе они играют ту же роль, что и функции ехр(ilx) в теории п. п. ф. на прямой R¹.

Два представления g(x).и g'(x).наз. эквивалентными, если существует такая постоянная матрица А, что g'(x)=A^-1g(x)A. Представление g наз. неприводимым, если семейство матриц , не имеет общего нетривиального инвариантного подпространства в . Множество всех неприводимых унитарных представлений разбивается на классы эквивалентных между собой представлений. Пусть из каждого класса эквивалентных представлений выбрано по одному представлению и полученное множество обозначено S. Тогда множество п. п. ф. на G

оказывается ортогональной (хотя, вообще говоря, несчетной) системой.

Теорема 1 (равенство Парсеваля). Если для п. п. ф. f(x).положить

то

Говорят, что представление входит в ряд Фурье п. п. ф. f(x), если для нек-рых

Теорема 2 (теорема аппроксима-ц и и). Множество Нплотно в пространстве п. п. ф., наделенном нормой

причем каждую п. п. ф. можно сколь угодно близко аппроксимировать конечной линейной комбинацией матричных элементов представлений, входящих в ее ряд Фурье.

Если G - топологич. группа, то к определению п. п. ф. нужно добавить требование ее непрерывности. В этом случае и представления, входящие в ее ряд Фурье, также будут непрерывными.

В случае, когда группа Gабелева, непрерывные унитарные представления одномерны - они наз. характерами группы G. Характеры группы Gобозначаются через и, и равенство Парсеваля таково:

В случае непрерывными характерами являются функции х(.г) = ехр(гЯ-.г), где , Я Хг=Я ₁ х ₁+...+ --К _п х _п. Из теорем 1, 2 следуют основные результаты теории п. п. ф. одного и многих переменных.

Доказательство основных положений теории п. п. ф. опирается на рассмотрение интегральных уравнений на группе (см. [2]). Доказано [3] существование достаточной системы линейных представлений компактных групп Ли. В этом случае инвариантное интегрирование (а значит, и среднее) устанавливается непосредственно. Построено [4] инвариантное интегрирование на абстрактной компактной группе, обусловливающее распространение на этот случай теории Петера - Вейля.

Теорию п. п. ф. на группе можно вывести (см. [3]) из теории Петера - Вейля следующим образом. Пусть / (х) - п. п. ф. на группе Gи пусть

тогда множество есть нормальный делитель группы С, а р - инвариантная метрика на факторгруппе GIE и / равномерно непрерывна на G/E. Из почти периодичности функции /(х).следует, что пополнение факторгруппы GIE по метрике р есть компактная группа, и теоремы 1, 2 следуют из теории Петера - Вейля.

Лит.:[1] Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М., 1П53; [2] Weyl H., "Math. Ann.", 1926, Bd 97, S. 338-56; [3| Peter F., WeylH., там же, 1927, Bd 97, S. 737-55; [4] Neumann J. von, "Сотр. math.", 1934, v. 1, № 1, p. 106-14; [5] e г о же. В. В. Жикое, В. М. Левитан.